LA SUCESIÓN DE FIBONACCI
autor: E.Gracián
La Sucesión de Fibonacci es una sucesión numérica cuya naturaleza la puede comprender cualquiera que tenga conocimientos de Aritmética Elemental. Sin embargo, ninguna sucesión ha dado lugar a tantos teoremas y tantas aplicaciones importantes como ésta.
Leonardo de Pisa (1170-1241), más conocido por Fibonacci, que significa «hijo de Bonaccio», fue uno de los matemáticos más relevantes de la Edad Media. En su obra más relevante, el Liber abaci (1202) (literalmente, Libro del ábaco), se plantea, entre otros, un problema trivial sobre conejos que da lugar a la formación de una sucesión de números naturales. Edouard Lucas(1842-1891), un matemático francés, fue quien puso título a dicha sucesión, que desde entonces quedó para la historia como Sucesión de Fibonacci, dándose la paradoja de que al gran matemático italiano se le acabó conociendo más por su sencillo problema que por la magnitud de su obra.
Sin embargo, la sucesión en sí fue descubierta anteriormente al propio Fibonacci. George Eckel Duckworth, profesor de clásicas en la Universidad de Princeton, demuestra en su libro Structural Patterns and Proportions in Vergil’s Aeneid (University of Michigan Press, 1962) que Virgilio, así como otros poetas de su época, utilizaron la sucesión de Fibonacci en sus composiciones.
La Sucesión de Fibonacci ha llegado a ser fuente inagotable de teoremas y problemas abiertos (conjeturas que no se han conseguido demostrar), la mayoría de los cuales se circunscriben a una parte de las Matemáticas llamada Teoría de Números. Además de presentar un notable parentesco con uno de los números más míticos de las Matemáticas, el número áureo, la sucesión de Fibonacci es actualmente objeto de intensa investigación debido a una multitud de aplicaciones, tanto teóricas como prácticas, que van desde la posibilidad de encontrar máximos y mínimos de funciones de las que no se conoce la derivada, hasta técnicas de recuperación de información digital.
Los conejos de Fibonacci
El planteamiento del problema es el siguiente: trabajamos con una familia de conejos cuya característica es que tardan un mes en hacerse fértiles. Cuando han alcanzado la fertilidad se reproducen dando lugar a una nueva pareja (un macho y una hembra) que, siguiendo el mismo proceso, tardará un mes en hacerse fértil. Así, conforme vayan pasando los meses, irá aumentando el número se parejas de conejos. La cuestión que planteó Fibonacci fue la de calcular el número de conejos que habría en un momento dado.
Construyamos un diagrama que nos ayude a comprender mejor la situación. En la primera columna escribimos el número de meses transcurridos, en la segunda la forma en cómo se van reproduciendo los conejos y en la tercera el número total de conejos que hay cada mes. Coloreamos una pareja de conejos para indicar que todavía no son fértiles.
Si empezamos con una pareja de conejos, transcurrido el primer mes seguiremos teniendo la misma pareja de conejos, pero con la diferencia de que ahora ya son fértiles (no están coloreados). En el tercer mes dicha pareja ya se habrá reproducido, de manera que tendremos la pareja original y la formada por los nuevos vástagos (coloreada). ¿Qué habrá sucedido en el cuarto mes? Pues que seguirá estando la pareja original, una nueva pareja a la que ésta ha dado lugar y la que teníamos coloreada en el tercer mes, que ahora ha pasado a ser fértil. Es decir, en total tres parejas de conejos. Si vamos siguiendo con cuidado el proceso no nos será difícil construir todas las filas del diagrama.
¿Habremos contestado con esto al problema de Fibonacci? En realidad no. Podemos saber, por ejemplo, que en el sexto mes hay ocho parejas de conejos. Si alguien nos preguntara, por ejemplo, cuántas parejas de conejos habrá al cabo de 30 meses, podemos caer en la tentación de alargar un poco más la tabla anterior y ponernos a contar el número de parejas que hay en la fila 30, algo muy poco aconsejable, ya que salen la friolera de 832.040 conejos, lo que configuraría un organigrama de pesadilla. Esto es debido a que no encontramos ante un típico crecimiento exponencial. Pensemos que al cabo de 115 generaciones el número de parejas ascendería a 483.162.952.612.010.163.284.885, una “conejada” que no cabría en el Universo conocido. Existen sencillos programas de ordenador que permiten calcular los términos de la Sucesión de Fibonacci.
Para los aficionados a las paradojas, los prolíficos conejos de Fibonacci plantean una muy curiosa: la expansión de conejos por el universo se produciría a velocidades superiores a las de la luz.
Tabla de los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci
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meses |
Nº parejas |
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0 |
0 |
|
1 |
1 |
|
2 |
1 |
|
3 |
2 |
|
4 |
3 |
|
5 |
5 |
|
6 |
8 |
|
7 |
13 |
|
8 |
21 |
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9 |
34 |
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10 |
55 |
|
11 |
89 |
|
12 |
144 |
|
13 |
233 |
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14 |
377 |
|
15 |
610 |
|
16 |
987 |
|
17 |
1597 |
|
18 |
2584 |
|
19 |
4181 |
|
20 |
6765 |
La ley de formación
Escribamos la serie de números que se obtienen conforme van pasando los meses (supondremos que empezamos con cero conejos):
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
¿Somos capaces de escribir el siguiente número sin recurrir al organigrama? No es difícil darse cuenta de que cada número de la serie es la suma de los dos anteriores, de manera que, prolongándola un poco, tendríamos
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, . . .
Existen varias fórmulas para encontrar el término general, FN, de la Serie de Fibonacci, pero quizás una de las más sorprendentes sea la que vienen dada por la expresión:
y es sorprendente en la medida en que en ella figura el término
que es, ni más ni menos, que Φ = 1, 61803…, el llamado “número áureo”, la Divina Proporción, el número mágico por excelencia, medida de la belleza y patrón del crecimiento en muchas de las estructuras de los seres vivos.
Si construimos una tabla con unos cuantos términos de la sucesión podremos observar que se puede obtener un término cualquiera multiplicando el anterior por el número áureo. Por ejemplo:
5·1, 61803 = 8,09015
La aproximación será tanto mejor cuantos más decimales del número áureo hagamos intervenir en el producto.
Calculemos ahora los cocientes entre números consecutivos de la serie:
1/1 = 1
2/1= 2
3/2 = 1,5
5/3 = 1,666…
8/5 = 1,6
13/8 = 1,625
21/13 = 1,61538…
34/21 = 1,61904…
Obtenemos una sucesión de números que van oscilando por encima y por debajo del número áureo:
1 1,5 1,6 1,61538…
1, 61803…
2 1,666… 1,625 1,61904…
De manera que ambas sucesiones, la que se aproxima por defecto y la que lo hace por exceso, acaban convergiendo en el número áureo. O, dicho de una forma más explícita aunque terriblemente incorrecta, si pudiéramos prolongar hasta el infinito la Sucesión de Fibonacci, el cociente entre el último número y el anterior nos daría como resultado el número áureo, con una exactitud total en todas sus infinitas cifras decimales.
La Sucesión de Fibonacci en la naturaleza
La naturaleza nos brinda algunos ejemplos de procreación sin necesidad de recurrir al incestuoso ejemplo de Fibonacci, como es el caso del singular árbol genealógico de las abejas. En un panal de abejas corrientes existe una hembra especial, que es la reina, la única que pone huevos. Luego están las obreras, que también son hembras pero que no ponen huevos y, por último, los zánganos, machos que no tiene padre (nacen de los huevos de la reina que no están fertilizados). Según este esquema las hembras tienen padre y madre y los machos sólo padre, con lo que se puede observar fácilmente la serie de Fibonacci en su árbol genealógico.
En él se ve que un zángano tiene una madre, dos abuelos, tres bisabuelos, cinco tatarabuelos, etcétera… formando así una Sucesión de Fibonacci. Y sin abandonar el panal de rica miel, se puede encontrar uno de nuevo con la susodicha sucesión en las diferentes trayectorias que sigue una abeja para recorrer las celdas hexagonales del panal: supondremos que la abeja se dirige siempre a una celdilla contigua y a la derecha de la que ocupa. Poco cuesta probar que hay sólo una ruta hasta la primera casilla, dos hasta la segunda, tres hasta la tercera, cinco itinerarios que conduzcan a la cuarta, y así sucesivamente.
Cómo saber si un número pertenece a la sucesión
¿Existe algún método para saber si un número cualquiera pertenece a una sucesión de Fibonacci? Es una pregunta ante la que un matemático frunciría el ceño, ya que es de apariencia no trivial y, además, en caso de respuesta afirmativa, uno espera encontrarse con una fórmula de ésas que requieren el uso de grandes ordenadores. Sin embargo, la respuesta es afirmativa y el resultado asombrosamente simple, hasta el punto de que, para números no excesivamente grandes, la comprobación se puede hacer con una calculadora de bolsillo.
Un número N pertenece a una sucesión de Fibonacci si y sólo se cumple que
o bien
es un cuadrado perfecto.
Tomemos un ejemplo con el número 3. Si lo elevamos al cuadrado tenemos 9, que multiplicado por 5 nos da 45 y al sumarle cuatro a este resultado obtenemos 49, que es un cuadrado perfecto, ya que 72 = 49, luego el número 3 pertenece a la sucesión de Fibonacci. Probemos con un número más grande, como el 610:
5·(610)2 – 4 = 5· 372100 – 4 = 1860500 – 4 = 1860496
que es el cuadrado de 1364, con lo que 610 pertenece a una sucesión de Fibonacci.
Por otra parte, no está de más añadir que la manera de saber si un número es un cuadrado perfecto es introducirlo en la calculadora y extraer la raíz cuadrada (sqrt) para ver si da un número exacto.
El dominó de Fibonacci
Cuando un matemático decide ponerse a hacer puzzles hay que echar a temblar, ya que lo que empieza como un simple pasatiempo puede acabar convirtiéndose, con suerte, en un teorema de difícil demostración y, en el peor de los casos, en una conjetura que traiga de cabeza a mucha gente durante mucho tiempo.
Un pasatiempo de estas características es por ejemplo el siguiente. Se trata de construir rectángulos con piezas de dominó. Entendiendo que un cuadrado es una clase concreta de rectángulo y que una pieza de dominó se caracteriza porque mide el doble de largo que de ancho, ¿cuántos rectángulos diferentes de 2×1 pueden construirse con piezas de dominó? Evidentemente uno sólo.
¿Y rectángulos de 2×2? Por muchas vueltas que le demos sólo se pueden hacer dos.
Rectángulos de 2×3 se pueden hacer exactamente tres y de 2×4 cinco. La cosa pinta bien. Lo suficiente para que nos animemos con los de 2×5 y comprobemos que sale el número esperado: ocho. De manera que nos encontramos con la sucesión 1, 2, 3, 5, 8, …
¿Nos permite esto asegurar rotundamente que el número de rectángulos 2xN que se pueden construir con fichas de dominó es FN? O sea que, por ejemplo, habrá 610 maneras de construir triángulos de 2×15 con fichas de dominó?
El matemático norteamericano David Klarner (1940–1999), demostró que así era. La demostración, excesivamente compleja para describirla aquí, incluye el manejo de “polyominos”, una generalización de las piezas de dominó, que se mueven a caballo entre los puzzles infantiles, la combinatoria moderna, la topología y alguna que otra lindeza matemática.
Los primos de Fibonacci
Se habla de sucesión de Fibonacci generalizada cuando la sucesión en cuestión se construye a partir de dos números cualesquiera, como podrían ser por ejemplo 7 y 22, mientras se siga la ley de formación que hemos explicado antes:
7, 22, 29, 51, 80, 131, …
Está claro que, en una sucesión de este tipo, si los dos primeros números son divisibles por un mismo número primo, lo serán también todos los restantes elementos de la sucesión. Si tomamos por ejemplo 6 y 9 como los dos primeros elementos (ambos divisibles por 3) tendremos
6, 9, 15, 24, 39, …
que son todos ellos divisibles por 3. Esto quiere decir que una sucesión de Fibonacci en la que los dos primeros números contengan factores primos comunes no puede contener números primos (a lo sumo tendría uno si empezara por un número primo cualquiera).
La pregunta interesante, en relación a los números primos que pueda o no contener una sucesión de Fibonacci, se plantea pues partiendo del hecho de que los dos primeros términos de dicha sucesión sean primos entre sí. En esas condiciones ¿qué se puede afirmar sobre la posibilidad de que una sucesión de Fibonacci generalizada contenga o no un número infinito de números primos? Actualmente ésta es una de las cuestiones abiertas que no han podido ser resueltas. Lo que sí se ha conseguido demostrar es que existen infinitas sucesiones de Fibonacci que no contienen ningún número primo, incluso se ha llegado a determinar cual es la más pequeña de todas, que es la que empieza por los números
1786772701928802632268715130455793
y
1059683225053915111058165141686995
Otros contextos de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci se encuentra presente en muchos fenómenos naturales, pero no sólo en aquellos que afectan a procesos de los seres vivos, sino también en procesos puramente físicos como pueda ser los diferentes caminos que sigue un rayo de luz cuando es reflejado.
Cuando miramos a través del cristal de un escaparate podemos ver lo que hay en él si el interior está iluminado,
pero si lo hacemos cuando el horario comercial ha finalizado y las luces están apagadas, lo más probable es que veamos nuestra imagen reflejada, ya que al haber más luz a un lado que al otro, el cristal actúa como un espejo. Si nos acercamos lo suficiente podremos observar una imagen doble, debida a una reflexión en la cara externa del cristal y otra en la cara posterior, efecto que se conoce como reflexión interna.
En base a este fenómeno se llevó a cabo un experimento haciendo incidir oblicuamente un rayo de luz sobre láminas de cristal planas puestas en contacto entre sí. Ya hemos visto lo que sucede en el caso en que haya dos superficies. Si se trata de tres superficies puestas en contacto el número de reflexiones posibles presenta la secuencia 1, 2, 3, 5.
Se ha demostrado (Leo Moser, Universidad de Alberta) que, en el caso general, el número de trayectorias posibles sigue una sucesión de Fibonacci.
La Asociación Fibonacci
En The Fibonacci Association, una asociación matemática creada en 1963 con el objetivo de gestionar todas aquellas cuestiones matemáticas que estuvieran relacionadas con los números de Fibonacci, aparecen dos logotipos: la estrella de cinco puntas (que ya fue utilizada como anagrama en la antigua tradición pitagórica)
y una curiosa espiral que se construye de la siguiente forma: se toman dos cuadrados de lado unidad y se colocan uno al lado del otro. A continuación, se construye sobre éstos otro cuadrado de lado dos unidades. Luego otro, sobre los lados de los anteriores y cuyo lado será de tres unidades, y así sucesivamente. Para cada nuevo cuadrado que construimos, el lado vale siempre la suma de los dos anteriores, con lo que estas longitudes crecen siguiendo una sucesión de Fibonacci, por lo que reciben el nombre de “rectángulos de Fibonacci”. Si dibujamos ahora un cuarto de círculo en cada uno de los cuadrados obtendremos la “espiral de Fibonacci” que aparece en el logotipo de la sociedad. A pesar de su gran parecido, no debe confundirse con la espiral logarítmica. De hecho, la espiral de Fibonacci ni siquiera es una espiral en el sentido matemático del término, pero constituye una buena aproximación para toda una familia de espirales que aparecen con frecuencia en la naturaleza.
Y, por último, un apunte futurista. En la era digital la Sucesión de Fibonacci se escribe así 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 …
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