CURVAS NOTABLES

autor: E.Gracián

El estudio de las curvas interesó a los primeros matemáticos de la historia y sigue siendo actualmente objeto de investigación. Se podría escribir una gran parte de la historia de las Matemáticas que tuviera como único protagonista a este misterioso y fascinante objeto geométrico que son las curvas.

Las curvas forman parte intrínseca de la naturaleza. Muchas de ellas son “perfectas”, en el sentido en que pueden ser descritas matemáticamente, como las trayectorias de los planetas o las de los cuerpos que caen libremente. Otras son una pura creación matemática, y surgen de una fórmula o de lugares geométricos generados por estrictas condiciones impuestas a un conjunto de puntos. Hay curvas muy sencillas, como la circunferencia, que puede dibujarse con un lápiz y una cuerda, y otras tan complejas y misteriosas que ni siquiera podemos visualizar la forma que tienen.

Todo el mundo tiene una idea más o menos clara, o cuanto menos intuitiva, de lo que es una curva. Una definición muy general de curva incluiría también a las rectas como caso particular, pero de momento vamos a ceñirnos a lo que todos entendemos por una línea curva.

Supongamos que tomamos un lápiz y un papel y empezamos a dibujar una línea, pero de forma que mantenemos una dirección constante. Está claro que dibujaremos una recta.

Si cambiamos de dirección unas cuantas veces lo que nos saldrá es una quebrada.

Si lo que hacemos ahora es cambiar constantemente la dirección empezaremos a dibujar una curva.

Esta es la definición más simple e intuitiva de lo que es una curva: “trayectoria que describe un punto en movimiento que cambia continuamente de dirección”. Si el final de la curva coincide con el origen tendremos una curva cerrada, y en caso contrario una curva abierta. Si el trazado lo hacemos de manera que la curva no se corte nunca a sí misma obtendremos lo que se llama una curva simple.

Una curva cerrada y simple.

Una curva abierta que no es simple.

También podemos tener una imagen dinámica de lo que es una curva si imaginamos que el lápiz está sometido a una fuerza perpendicular al movimiento. Según la dirección y el sentido de esa fuerza, la curva girará hacia un lado u otro y lo hará en mayor o menor medida según el valor de dicha fuerza. Esta es una idea simple del significado de la curvatura, una especie de medida de lo mucho o poco que se cierra una curva sobre sí misma.

Hasta ahora hemos hablado de curvas planas pero, obviamente, también existen curvas que no pueden dibujarse en un plano, que son alabeadas. Siguiendo con el símil mecánico podemos imaginar ahora que a la fuerza anterior se suma otra que no está en el plano del dibujo y cuya función es “torcer” la curva que estamos dibujando, lo que definirá un nuevo parámetro al que le llamaremos torsión. En Geometría Diferencial ambos parámetros, curvatura y torsión, tienen definiciones precisas.

Las curvas que hemos dibujado como ejemplos son curvas totalmente arbitrarias. Pero sabemos que hay otras de formas bien definidas y que reconocemos nada más verlas, como por ejemplo, una circunferencia o una elipse. So pena que se posean cualidades excepcionales, este tipo de curvas requieren de ciertos instrumentos de dibujo para que su trazado se ajuste a la definición que se da a las mismas. Con una regla y un compás se pueden dibujar una variedad insospechada de curvas, incluso con tan sólo una regla se pueden dibujar curvas que aparecen como tangentes a las rectas (cuantas más rectas, más definida aparecerá la curva).

Una elipse obtenida por tangentes. Es un papel vegetal visto al trasluz en el que han quedado marcados los dobleces de las rectas tangentes.

Las primeras clasificaciones

Para los griegos las Matemáticas se reducían en gran medida al estudio de la Geometría, siendo ésta una disciplina también bastante restringida al uso casi exclusivo de rectas y círculos. Estos criterios afectaban al concepto que tenían de curva y especialmente a la clasificación que hacían de ellas.

Tener clara la procedencia de una curva significaba poseer un cierto dominio sobre ella y sobre todo significaba tener la posibilidad de construirla geométricamente. Por otro lado, este tipo de curvas bien definidas eran utilizadas para la resolución de problemas, especialmente para la resolución de ecuaciones. Por otro lado, curvas bien conocidas, como la circunferencia o la elipse, eran “locus”, lugares geométricos; es decir, conjuntos de puntos que cumplían todos alguna propiedad determinada. Por ejemplo, la circunferencia se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno llamado centro. Todo esto llevó a una primera clasificación, que se encuentra en las obras de Pappus de Alejandría (cerca del 290-350) de la curvas en tres grandes grupos.

En primer lugar estaban aquellas que consideraban  de “lugares planos”, que eran todas las que podían construirse mediante rectas y circunferencias, o dicho de otra forma, las que se podían dibujar con regla y compás. Luego un segundo grupo, las de los lugares sólidos, que estaban formadas por las cónicas, curvas que se obtenían por las secciones planas de un cono. Y en tercer lugar y como grupo un tanto marginado, estaba el formado por las curvas a las que llamaban lineales (término muy poco acorde con la nomenclatura actual) y que recibían este nombre debido a su oscura procedencia. Las llamaban así porque procedían de líneas (curvas) que no tenían un origen claro, como por ejemplo las concoides, las cisoides o las espirales, cuya construcción obedecía más a criterios mecánicos que geométricos.

Curvas mecánicas

Entra las llamadas curvas mecánicas las más importantes son aquellas que son generadas por el movimiento de un punto, P, situado en una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una superficie. Si fijamos a una de las ruedas de una bicicleta un objeto luminoso y hacemos una fotografía de larga exposición, la curva descrita por el punto luminoso es una cicloide. Hay muchos posibles recorridos en bicicleta, que van desde terrenos completamente planos, hasta los más accidentadas rutas de montaña. Se entiende, pues, que el número posible de este tipo de curvas en potencialmente infinito. Pero en Matemáticas se presta especial atención a tres tipos, que son las cicloides, las epicicloides y las hipocicloides. Son curvas mecánicas interesantes porque a través de ellas pueden generarse curvas más complicadas.

Cicloides

La curva cicloide se define como la trayectoria que describe un punto situado sobre una circunferencia cuando ésta gira, sin deslizar, sobre una recta.

Las cicloides han sido ampliamente estudiadas por varios matemáticos importantes. El primero que se dedicó a ellas fue  Galileo Galilei (1564-1642), que fue además quien les puso el nombre. Galileo intentó sin demasiado éxito calcular el valor del área encerrada entre la curva y la recta sobre la que desliza la circunferencia, a base de recortar pequeñas piezas de metal que tuvieran la forma de la figura.

El valor preciso del área fue encontrada por Descartes (1596-1650) y es , siendo r el radio de la circunferencia móvil. Fue Roberval quien encontró la longitud del arco que define la curva, cuyo valor también obedece a una expresión muy sencilla L = 8r.

Otras de las cualidades que adornan a esta curva es que permitió resolver dos problemas que durante muchos años habían traído de cabeza a los matemáticos. El primero de ellos era el de la braquistócrona: hallar la forma que debe tener una curva para que un cuerpo que se deja deslizar sobre ella sometido a la acción de la gravedad como única fuerza, haga su recorrido a la máxima velocidad, es decir en el menor tiempo posible. La solución, que era la curva cicloide, la encontró Johan Bernouilli en 1696. El otro problema era el de encontrar la tautócrona, la curva que debería describir el extremo de un péndulo que oscila libremente para que el período de oscilación sea siempre el mismo. Este problema fue resuelto por Huygens en 1673, y le sirvió como base para la construcción de los primeros relojes de péndulo. La solución también fue en este caso la curva cicloide.

Hipocicloides

Una hipocicloide es la curva que describe un punto de una circunferencia cuando ésta rueda sin deslizar por el interior de una circunferencia fija.

Las hipocicloides dan mucho juego según la relación que se establece entre los radios a, de la circunferencia fija y b, de la que se desliza por su interior, teniendo en cuenta que siempre será b < a. Por ejemplo, en el caso en que uno sea el doble del otro a/b = 2, se obtiene una recta, que es diámetro de la circunferencia fija.

A partir de aquí se obtienen curvas cuspidales para a/b = n que tienen exactamente n picos o cúspides.

Los casos de n = 3 y n = 4 reciben los nombres especiales de deltoide y astroide, respectivamente.

En el caso en que a/b sea un número racional (no entero) se obtienen una serie de ciervas cerradas en forma de estrellas con tantas puntas como indica el número b:

Este cociente también puede ser un número irracional como en cuyo caso la hipocicloide adopta la forma

O bien puede ser a/b = p con lo que la hipocicloide se convierte en

Es probable que a algunas personas estas figuras les resulten familiares, y es que hace algunos años salió al mercado un juego educativo que se hizo muy popular y que consistía en una serie de ruedas dentadas que podían girar unas engranadas en las otras y que permitían dibujar una gran variedad de curvas de este tipo.

Las cosas pueden complicarse bastante más cuando el punto en cuestión no está justo en el borde de la circunferencia interior, sino a una distancia mayor o menor que el radio. Se obtienen entonces las hipotrocoides, figuras de una singular belleza ornamental

Epicicloides

Una epicicloide es la curva que describe un punto de una circunferencia cuando ésta rueda sin deslizar por el exterior de una circunferencia fija.

De forma análoga al caso anterior, se obtienen diferentes epicicloides en función de la relación que exista entre los radios a y b de las dos circunferencias.

Reciben nombres especiales las epicicloides de una y de dos cúspides, llamadas cardioide y nefroide, respectivamente.

La definición de curva

En la historia de las Matemáticas, las curvas y las ecuaciones que, en algunos casos, las definían con precisión, fueron anteriores al desarrollo del concepto de función. Cuando éste se estableció trajo consigo la aparición de nuevas curvas, ya que toda función

y = f(x)

es susceptible de ser representada en un sistema de coordenadas, en la medida en que su gráfica queda definida por los puntos que determinaban los pares de números (x, f(x)). Los problemas hicieron su aparición en escena cuando empezaron a surgir ciertas curvas “patológicas” que cuestionaban seriamente el mismo concepto de curva.

Weierstrass definió una función que era continua en todos sus puntos, pero que no era diferenciable en ninguno, lo que traducido significaba que estábamos ante una curva que podía ser dibujada sin levantar el lápiz del papel (continua), pero que no tenía recta tangente en ninguno de sus puntos. ¿Se podía considerar a este objeto matemático como una curva?

La curva de Weierstrass tiene forma de sierra en cualquiera de sus puntos

En 1887, Jordan dio una definición de curva como el conjunto de puntos que venían representados por dos funciones continuas

x = f(t)

y = g(t)

en donde t era un parámetro que tomaba valores dentro de un cierto intervalo e impuso la condición, para definir lo que era una curva simple, de que ésta no se cortara nunca a sí misma. A pesar de que la definición era demasiado amplia, durante algún tiempo se adoptó como buena. Sin embargo, en 1890, Peano construyó una curva que cumplía con la definición de Jordan, y en la que t tomaba valores en el intervalo [0, 1] y recorría todos los puntos de un cuadrado, al menos una vez.

Sólo un año después, Hilbert publicó otro ejemplo similar al de Peano en el que se podía definir una aplicación continua de un segmento sobre la superficie de un cuadrado. Para construirla se divide el cuadrado en cuatro cuadrados iguales y luego se unen los centros de dichos cuadrados mediante tres segmentos. Se vuelve a dividir ahora cada uno de los cuatro cuadrados y se repite la operación. Y así indefinidamente. Mediante este proceso se obtiene una “curva” que se podría dibujar sin levantar el lápiz del papel y que llenaría completamente el cuadrado. Además esta curva adolece de la patología de ser de longitud infinita, a pesar de caber toda ella en un cuadrado de área finita.

Las cosas se habían puesto tan difíciles que Félix Klein manifestó en una ocasión que “no hay nada más oscuro que la noción de curva”.

La solución definitiva vendría de la mano de los topólogos, lo que no es de extrañar ya que una curva es una colección de puntos situados en un espacio y “puntos” y “espacio” son dos conceptos abstractos que la topología podía llegar a definir sin ningún tipo de fisuras. Lamentablemente se trata de una definición excesivamente técnica y sofisticada como para que tenga cabida en este contexto.

La bruja de Agnesi

La bruja de Agnesi no hace referencia a ninguna bruja que volara montada en una escoba, sino a un tipo muy particular de curva, que se construye de la siguiente forma:

Dados unos ejes de coordenadas, se traza una circunferencia de radio a que tenga el centro en el punto (0, a), y a continuación se traza la recta r de ecuación y = 2a. Se toman rectas con origen en O que corten a la circunferencia. Un punto cualquiera de la curva se obtiene tomando como ordenada y la misma que tiene la intersección de OA con la circunferencia y de abcisa x la misma que tiene el punto A. En estas condiciones la ecuación implícita de la curva viene dada por

por ejemplo, para a = 1 la curva sería:

(Es frecuente confundir esta curva con la campana de Gauss).

En un principio, esta curva fue estudiada por Fermat en 1630, luego por Guido Grandi, que fue quien en 1703 encontró la manera de construirla. Finalmente, Maria Gaetana Agnesi publicó en 1748 Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, una obra (la primera que se conserva de una mujer matemática) en donde aparece un trabajo muy completo sobre esta curva, motivo por el que también se la llama “curva de Agnesi”.

Entre los matemáticos italianos, este tipo de curvas eran conocidas como versiera, palabra de procedencia latina (versoria era un cabo que se utilizaba en navegación para hacer girar una embarcación) y que significaba “la que gira”. Pero resulta que en italiano versiera es una abreviación de avversiera (la mujer demonio) y en una traducción al inglés de la obra de Agnesi que llevó a cabo John Colson en 1801, tuvo la mala fortuna de traducir  diablesa por bruja, seguramente pensando que los anglosajones estarían más familiarizados con las brujas que con las mujeres diablo. Total, que la cosa acabó en witch of Agnesi, la bruja de Agnesi.

Tags: Alejandría, curvas, Descartes, espirales, Fermat

Esta entrada fué enviada Jueves, Febrero 4th, 2010 el 16:20 y está insertada en Divulgación, Geometría . Puedes encontrar respuestas a continuación. Deja una respuesta, o haz el seguimiento desde tu site.