El infinito, como el espacio, es uno de los conceptos matemáticos que entran de lleno en el terreno de la filosofía. Ambos atañen a la percepción del mundo, por lo que no es de extrañar que la evolución del infinito, como objeto matemático, haya estado muy unida a su concepción filosófica.

La conciencia de que el infinito es inalcanzable trae como consecuencia que no se pueda medir, que carezca de lo que los griegos llamaban, por lo que debe entrar en la categoría del caos, motivo por el que Platón y Pitágoras denominaban al infinito apeiron. Más tarde, Anaximandro le dio a esta palabra un sentido más próximo al que le damos nosotros, significando “lo ilimitado”. Pero fue Aristóteles el que se enfrentó con más audacia y mejor método al problema del infinito, estableciendo en su obra Física, dos clases diferentes de infinito: el infinito potencial, como un proceso constante de crecimiento que no termina nunca; y el infinito actual, concebido como obra terminada. Los matemáticos se debatieron entre estas dos opciones durante siglos, hasta que Cantor, gracias a la potente herramienta que él mismo había creado, la Teoría de Conjuntos, estableció matemáticamente la existencia, no de uno, sino de una infinidad de infinitos actuales.

¿Infinito real o infinito potencial?

La elección de las palabras castellanas para designar a las dos clases de infinito no es muy afortunada, o por lo menos no demasiado intuitiva. Lo serían quizás más (aunque también más comprometidas) “infinito teórico” para infinito actual e “infinito real” para infinito potencial. Veamos, mediante un ejemplo, cual es la diferencia entre estos dos conceptos.

Decimos que la serie de los números naturales 1, 2, 3, 4, ….es infinita. En principio esto es algo que nadie pone en duda, ya que dado cualquier número N siempre podremos crear un siguiente número que será N + 1, no importa cuán grande sea el número N. Pero una cosa es tener la posibilidad de hacerlo y otra es que ya esté hecho. Se trata de una diferencia sutil. Tener la posibilidad de hacerlo define el infinito potencial; tenerlo hecho, el infinito actual.

Salgamos un momento del entorno matemático, con todas las licencias que esto supone, para intentar aclarar aún más la diferencia entre ambos conceptos. Supongamos que marcamos con una tiza una raya en el suelo, de forma que si doy un paso hacia delante me sitúo al otro lado de la raya. Es un acto que “potencialmente” puedo hacer. Cuando lo hago y me sitúo al otro lado de la raya he “actualizado” ese potencial, lo he convertido en un acto. Existe una clara diferencia entre lo potencialmente posible y el acto realizado. Podría darse el caso, por ejemplo, de que en el momento en que voy a iniciar la acción tenga lugar un terremoto y se abra una enorme brecha en el suelo que me impida el acto de pasar al otro lado de la raya.

Que nadie puede construir toda la serie de los números enteros es una verdad incontrovertible. También es cierto que nadie ha visto nunca dos rectas paralelas, ya que las rectas son infinitas y a lo sumo podemos ver segmentos de rectas paralelas. ¿Quiere esto decir que las rectas paralelas no existen? Sí. Existen en la medida en que existan las rectas ¿pero existe realmente una recta infinita? El mismo Euclides, en sus famosos Elementos,  se andaba con mucho tiento al tratar el tema, ya que cuando se refiere a rectas habla de “segmentos cuya longitud la podemos hacer todo lo larga que queramos”, en una clara alusión al infinito potencial.

Lo infinitamente pequeño

De la misma forma que se puede hablar de lo infinitamente grande, se puede hablar también de lo infinitamente pequeño,  que es como darle la vuelta al calcetín del infinito, para entrar en el mundo de los infinitésimos. Entre los números cero y uno, por ejemplo, está 1/2, que es más pequeño que uno y más grande que cero. Pero 1/3 es a su vez más pequeño que 1/2 y más grande que cero. Está claro que así podemos continuar indefinidamente: 1/5, 1/6…¿cuántos números como estos van a caber entre uno y cero?

Hay dos tipos de respuesta a esta pregunta: primera respuesta: “tantos como queramos”. Hemos entrado en el territorio del infinito potencial (o si se quiere del infinitésimo potencial). Segunda respuesta: “infinitos”. Aceptamos entonces el infinito actual.

En las acepciones de la palabra infinito que podemos encontrar en cualquier diccionario al uso aparecen sinónimos de “grande”, “sin límites”, “que se expande indefinidamente por todas partes”, etc., acepciones todas ellas que no pueden aplicarse a un pequeño intervalo como el (0, 1), que es un conjunto totalmente acotado, dentro del cual cabe el infinito y que, además, es muy pequeño. O peor todavía, que puede ser tan pequeño como queramos: entre los números 0,00000000000000000000001 y 0, por poner un ejemplo, caben infinitos números.

Este hecho simple planteó, en su momento, un cierto problema para los detractores del infinito actual. Es cierto que este conjunto infinito debe ser construido paso a paso. Por algún mecanismo aritmético simple se pueden obtener números tan pequeños como se quiera, algo que admiten los defensores del infinito potencial. Admitamos que no se puede realizar el “acto” de construir este conjunto infinito. Pero, sea como sea, lo hemos encerrado en un intervalo. No necesitamos crear espacios ilimitados, vedados a nuestra imaginación, para ubicar al infinito, ya que también cabe en lugares realmente pequeños.

Más allá del infinito

En el siglo XIX  el concepto de infinito se convierte en algo tan indiferenciado como lo pueda ser un átomo. Cantor no sólo define matemáticamente el infinito actual, sino que deja clara la existencia de diferentes infinitos. Es más, demuestra que hay infinitos más grandes que otros, llegando a establecer una serie infinita de números transfinitos.

El primer gran seísmo matemático lo introdujo al romper el esquema, dictado por el sentido común, que había enunciado Euclides: “el todo es mayor que cada una de las partes”. Pero es fácil demostrar que, en el conjunto de los números enteros, una de sus partes sea igual al todo. Se puede construir  una tabla de dos columnas en la que figuren, en la primera columna, los números enteros y, en la segunda, cada uno de éstos multiplicado por dos, lo que prueba que hay tantos números enteros como pares. Esto constituye una caracterización de los conjuntos infinitos, ya que sólo en ellos puede darse la extraña propiedad de que una de sus partes sea igual al todo. Cantor demostró que hay más números reales que enteros. Ambos conjuntos son infinitos, pero uno es más grande que el otro, luego todos los infinitos no son iguales.

Cantor abrió así las puertas de la que probablemente sea la historia más fascinante del pensamiento humano y que, como consecuencia, dio lugar a un sinfín de controversias de todo tipo, matemáticas, lógicas, metafísicas y hasta teológicas, muchas de las cuales están todavía lejos de terminar. A él le tocó vivir la primera y quizás la más virulenta de todas, el enfrentamiento con su antiguo profesor, Leopold Kronecker (1823-1891).

La controversia del infinito

Kronecker era partidario de rechazar cualquier concepto que no estuviera vinculado a algún tipo de operaciones. En una clara alusión a los métodos de Cantor manifestó lo siguiente: “La riqueza de la experiencia práctica con problemas sanos e interesantes dará un nuevo sentido y un nuevo ímpetu a las Matemáticas. La especulación matemática unilateral e introspectiva conduce a campos estériles”. Cuando las alusiones se dirigían directamente a Cantor solía utilizar palabras más duras: “renegado, charlatán y corruptor de la juventud estudiosa”. Su rechazo al infinito actual, basado en el Intuicionismo y el Constructivismo que, en toda construcción en un número finito de etapas, acaba por llevarle a resultados muy diferentes a los de Cantor, terminó por degenerar en un fanatismo doctrinario, revestido y protegido por su autoridad académica, una autoridad frente a la que Cantor se sintió acosado y desprotegido.

En un momento dado de la controversia, Cantor abogó directamente por una libertad de pensamiento: “La Matemática es completamente libre en su desarrollo, y sus conceptos sólo se ven restringidos por la necesidad de ser no contradictorios y están coordinados con los conceptos previamente introducidos mediante definiciones precisas. La esencia de la Matemática es su libertad”. Pensar lo que nunca nadie ha pensado antes puede generar dudas y certezas con igual grado de intensidad, y con frecuencia coloca a los genios en una situación crítica. Cantor no se queja de que alguien pueda cuestionar la veracidad de sus demostraciones matemáticas o la posible futilidad de sus teoremas, sino que trata de evitar que el pensamiento se vea constreñido por una serie de ideas que han degenerado en puro dogmatismo. Quizás éste es el motivo por el que en sus escritos acaba sustituyendo el término “Matemática pura” por el de “Matemática libre”.

Y es que, para muchos, el delito de Cantor fue el de la trasgresión. Su labor matemática entraba como un vendaval en el terreno de la filosofía y en el de las convicciones más arraigadas. No estaba hablando de Dios, pero casi, pues como decía D. Hilbert (1862-1943): “Ningún pensamiento como el del infinito ha turbado tan profundamente el espíritu humano, ni ninguna otra idea ha estimulado tan intensamente su intelecto”. En cualquier caso, el infinito había dejado de ser un extraño e inabordable fetiche del pensamiento, para pasar a ser un objeto de las Matemáticas con el que se podía operar como si fuera un número más. Se había cruzado el umbral y, como el mismo Hilbert dijo en una ocasión: “Ya nadie puede expulsarnos del paraíso de los pensamientos de Cantor“.

El infinito y la cultura popular

Casi no hay nadie que en algún momento no haya tratado de imaginarse la eternidad en el tiempo o el infinito en las cosas. Así como la eternidad aparece, como un telón de fondo, ante la finitud de la vida, la idea más primitiva del infinito surge espontáneamente ante la serie de los números naturales, la primera cosa que aprendemos después del lenguaje.

El siguiente cuestionario sobre la idea del infinito le fue planteado a una persona de cultura media, que carecía de cualquier tipo de preparación filosófica o matemática. Sus respuestas fueron rápidas, sin pensar demasiado, espontáneas y dictadas por el “sentido común”, al que se supone depositario de nuestro entorno cultural.

-          P: ¿Qué es el infinito?

-          R: Algo que no se acaba nunca.

-          P: ¿Qué quiere decir eso?

-          R: Pues que puedes estar contando y no acabarías nunca.

-          P: ¿Por qué no acabarías nunca?

-          R: Porque no hay un número final.

-          P: ¿Cómo lo sabes?

-          R;  No me he puesto a comprobarlo. Me lo creo.

-          P:  O sea que estamos hablando de una creencia

-          R: No exactamente. Yo sé que por grande que sea un número siempre le podré sumar otro número.

-          P: No estoy de acuerdo. Aunque te dediques exclusivamente a esta tarea, tu vida es limitada y no “siempre” podrás estar sumando números.

-          R: No importa, generaciones y generaciones de seres se podrían dedicar a esto.

-          P: También la vida en la Tierra es limitada. De hecho todo el Sistema Solar tiene fecha de caducidad.

-          R: Es igual. No hace falta que nadie lo haga, basta con saber que se puede hacer. Aunque en la Tierra sólo existieran delfines se podría hacer. Que nadie pueda hacer una cosa no quiere decir que esa cosa no pueda existir.

-          P: Eso es tanto como aceptar que el infinito es algo que existe independientemente de nosotros.

-          R: Desde luego.

En estas respuestas está el núcleo del debate entre el infinito actual y el potencial.  La persona interrogada ha terminado por inclinarse claramente a favor del infinito actual.

Hay una serie de conceptos que no podemos comprender, pero que están ahí. No existe mucha diferencia entre el horror a la nada y el miedo al infinito, de hecho se compensan el uno al otro, aunque en la lucha suele acabar ganando el infinito, ya que, en cierta forma, nos es más próximo. No podemos concebir el espacio en el que vivimos como finito. Cuando alguien trata de imaginarlo así, la primera pregunta que le viene a la cabeza es “¿y después que hay?”. La respuesta no puede ser “nada”. Por lo menos tiene que haber espacio, aunque esté vacío. El asunto es simple. No conocemos la nada y en cambio tenemos la presencia constante de las cosas que forman el infinito, aunque sea el infinito potencial. Y es que el infinito no es sólo una idea o un concepto. Su permanencia, en no importa qué cultura, con todos sus interrogantes, es un signo inequívoco, nos guste o no, de que nos pertenece, como la vida, la muerte o el tiempo.

Galería de los horrores

“Por lo demás, el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial, de un conjunto infinito. En ese instante gigantesco, he visto millones de actos deleitables o atroces; ninguno me asombró como el hecho de que todos ocuparan el mismo punto, sin superposición y sin transparencia”. El Aleph, de Jorge Luis Borges (1899-1986).

“Protesto contra el uso de la magnitud infinita como una cosa completa, que jamás puede permitirse en Matemática. Infinito es simplemente una forma de hablar, y la verdadera significación es un límite al que ciertas razones se aproximan indefinidamente, mientras otras aumentan sin restricción”. C.F.Gauss (1743-1839)

“Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo del Mal cuyo limitado imperio es la ética: hablo del infinito.”

Jorge Luis Borges

“Repugna el sentido común”.

Du Bois-Reymond (1818-1896)

“Futilidad perniciosa heredada de filosofías anticuadas y teologías confusas, pudiendo llegar sin él tan lejos como se quiera. . . ”

L. Kronecker

Durante la Edad Media, el debate sobre el infinito actual no podía adquirir tintes matemáticos, debido a que era propiedad exclusiva de la divinidad y, por tanto, debía ser debatido únicamente en los foros teológicos, ya que, como afirmaba San Agustín “sólo Dios y sus pensamientos son infinitos”. Sin embargo, es sorprendente que los padres de la iglesia negarán a Dios la posibilidad de crear el infinito actual. Santo Tomás de Aquino demuestra en el Summa Theologiae que, aunque Dios es omnipotente, ilimitado, no puede crear cosas absolutamente ilimitadas. Una conclusión que, en el contexto religioso en el que la plantea Santo Tomás, sólo puede justificarse si se admite que el infinito actual es idéntico al mal absoluto.

En 1600,  Giordano Bruno (1548-1600) cometió “un pecado de pensamiento” al imaginar que vivíamos inmersos en un espacio infinito poblado por una infinidad de mundos. Luego cometió el error de expresar ese pensamiento públicamente, lo que le llevó a morir quemado en la hoguera.

A partir del siglo XVII se a utilizó el signo para representar al infinito. Por la misma fecha empezó a aparecer en las cartas del Tarot, bien como sombrero o directamente suspendido en la cabeza, como las coronas de los santos, indicando sabiduría.

Es un error muy difundido creer que el infinito se representa mediante un “ocho” tumbado. En realidad se trata de la forma de una curva, concretamente de la lemniscata de Bernoulli, que se caracteriza, entre otras cosas, por permanecer invariable después de aplicársele determinadas transformaciones geométricas. El primero en introducir el signo para simbolizar el infinito fue John Wallis, en su obra Arithmetica Infinitorum.