Una espiral dextrógira y otra levógira. Cuando la espiral se abre hacia la derecha se dice que es dextrógira y cuando lo hace hacia la izquierda que es levógira.

En sentido figurado, la ambición de una espiral, en tanto que curva geométrica, es la de ocupar el mayor espacio posible del plano. Las hay que se abren más rápidamente o que lo hacen de una forma regular. En general, cuando una espiral es una curva geométrica, lo que significa que puede venir dada por una ecuación, viene representada por una relación, más o menos compleja, entre dos parámetros, que son el que indica el ángulo de giro y el que nos dice a qué distancia estamos del polo de la espiral. Se entiende, pues, que la variedad de espirales posibles es grande, unas con mayor interés geométrico que otras. Hay, sin embargo, otra familia de espirales, que no pueden ser consideradas como curvas geométricas en sentido estricto y que se construyen con regla y compás, siendo, en algunos casos, una muy buena aproximación a las espirales geométricas.

La espiral de Arquímedes

La espiral de Arquímedes, llamada así porque este tipo de espirales fueron estudiadas por Arquímedes alrededor del 225 a. de C., se caracteriza porque la relación entre el ángulo de giro y el alejamiento del centro es de tipo lineal. En coordenadas polares su ecuación viene dada por

en donde r es la distancia al origen o polo, θ el ángulo de giro y a es una constante. Si por ejemplo a = 1, tendremos una espiral en la que, cuando hemos dado una vuelta completa

el punto se encuentra a una distancia del origen de

A las dos vueltas, la distancia será de 4π, y así sucesivamente. Se trata de una espiral de forma regular en la que se conserva el ancho entre las curvas. Según los valores que se den al parámetro a se tendrán espirales más anchas o más estrechas.

Las espirales de Arquímedes están muy difundidas en el arte, especialmente en el arte clásico, en donde se observan en adornos, dibujos y esculturas. También las colas y las trompas de algunos seres vivos adoptan, cuando están en reposo, la forma de una espiral de Arquímedes. La galaxia en la que habitamos también tiene esa forma, es probablemente la mayor espiral de Arquímedes que podemos observar en la naturaleza.

Capitel jónico en el que pueden observarse espirales de Arquímedes, una levógira y otra dextrógira.

Arquímedes llegó, por métodos puramente geométricos, a un curioso resultado en relación al área de la espiral y que resumió así: “El área de la espiral en su primera vuelta es igual a la tercera parte del área del círculo que la envuelve”.

Las espiroquetas, bacterias causantes de enfermedades dentales como la gingivitis y la periodontitis, (se van comiendo la encía y cuando acaban con ella, empiezan con el hueso) adoptan la forma de una espiral de Arquímedes, lo que les permite encogerse cuando hay peligro, o sea, cuando el cepillo de dientes se abre paso entre la placa bacteriana y deja entrar oxigeno (las espiroquetas son anaeróbicas).

La espiral de Durero.

Alberto Durero no fue sólo un gran pintor, sino también un aficionado a las Matemáticas y un profundo conocedor de la Geometría de su tiempo. Sus intereses, siempre encaminados a la expresión artística, le llevaban con frecuencia a aplicar sus conocimientos geométricos a la creación artística. Consciente de la importancia que las espirales tenían en la naturaleza y de la misteriosa belleza que encerraban, creó una espiral, que lleva su nombre, basada en la “divina proporción”, es decir, en la razón áurea. Recordemos que el número áureo es

y que un rectángulo uno de cuyos lados mida esta cantidad y el otro lado, la unidad, recibe el nombre de rectángulo áureo:

Rectángulo áureo en el que AC = 1 y AB =1,6180339887…

Dividimos ahora el lado AB en una sección áurea, de manera que EBFD sea también un rectángulo áureo. Y así sucesivamente, obteniéndose rectángulos cada vez más pequeños y encajados, cada uno en el interior del que le precede. Durero tomaba entonces un compás y trazaba el cuarto de círculo que unía los vértices opuestos del primer cuadrado. Luego hacía lo mismo con el siguiente e iba obteniendo su espiral por trozos:

Espiral de Durero

En la creación de esta espiral, Durero se mantuvo fiel al principio de crear solamente figuras geométricas que pudieran obtenerse con regla y compás.

El Nautilus pompilius (aka, macromphalus, aka belairensis), es lo que se denomina un fósil vivo, ya que existe como tal desde hace 450 millones de años. Se trata de un cefalópodo que habita en una concha revestida de nácar, y que puede alcanzar los 18 centímetros de diámetro. Como puede establecer su hábitat a unos 600 metros de profundidad, necesita estar preparado para resistir una gran presión de agua, lo que consigue gracias a la forma geométrica que tiene el desarrollo de la concha.

Ésta está formada por una serie de cámaras que están unidas por tabiques. En su crecimiento cada una de las cámaras aumenta el tamaño, pero sin variar la forma, y se pasa de una cámara a la otra siguiendo una espiral logarítmica. Una vuelta completa está formada por 18 cámaras. Esta disposición es la que le proporciona una resistencia tan alta. Lo curioso es que la espiral es una curva geométrica, en el sentido en que las espirales construidas con regla y compás, como la espiral de Durero, no siguen exactamente la curva de las cámaras, cosa que sí hace con absoluta precisión la espiral logarítmica, lo que convierte a este cefalópodo en un matemático de primera línea.

La espiral equiangular

A la que más se parece la espiral de Durero es a la llamada espiral equiangular, que sí es, en sentido estricto, una curva matemática y, además, una curva con una historia interesante. En la primera mitad del siglo XVII los matemáticos investigaban el problema de la rectificación de curvas, es decir, la posibilidad de determinar la longitud de una curva entre dos de sus puntos. Mersenne, que desde su celda de París se había convertido en el centro de divulgación matemática de Europa, puso en conocimiento de Descartes la existencia de una “curva mecánica” que se había puesto de moda.

Las curvas mecánicas eran las que se configuraban mediante el movimiento de un móvil, como por ejemplo la parábola, que se genera al lanzar un cuerpo y dejarlo sometido únicamente a la acción de la gravedad. No se conocían las expresiones matemáticas de todas las curvas mecánicas, y en encontrarlas radicaba la gracia del asunto. La que Mersenne presentó a Descartes era la trayectoria que seguía un cuerpo cuando caía por la superficie de una esfera en movimiento. Descartes encontró la ecuación. Se trataba de una espiral que obedecía a la fórmula

donde a y b son constantes y e es el número

e = 2, 71828182…

r es el radio de posición de un punto, y theta es el ángulo girado. Es éste un tipo de espiral muy diferente al de la espiral de Arquímedes, ya que conforme vamos girando alrededor del polo, la curva se aleja de éste exponencialmente. Visualmente es una espiral que se abre muy rápidamente.

Mientras los ángulos crecen en progresión aritmética, los radios lo hacen en progresión geométrica.

Diferencia entre la espiral de Durero (en rojo) y la espiral logarítmica (en verde).

Hallando la longitud de la espiral equiangular, Descartes podría haberse convertido en el primer matemático de la era moderna en conseguir la rectificación de una curva, pero mantuvo una postura muy rígida al considerar que este tipo de curvas obtenidas mecánicamente no eran curvas geométricas. Además, también aducía la razón de que el arco de curva del que se quería calcular la longitud sólo tenía un extremo, ya que el otro, el polo u origen, era un punto que nunca era alcanzado porque la curva se aproximaba a él de forma asintótica. Torricelli, que no tenía tantos reparos, calculó su longitud empleando métodos infinitesimales y llegando a un resultado sorprendente.

La longitud de la espiral desde que θ vale cero (en el punto Q), recorriéndola hacia atrás, hasta el polo O es igual a la de la tangente PQ.

Espira mirabilis

La espiral equiangular, que apareció con este nombre en un escrito de Descartes publicado en 1638, fue rebautizada por Jacques Bernouilli como “espiral logarítmica”, ya que se puede expresar en coordenadas polares mediante un logaritmo:

Pero una vez estudió sus propiedades, la volvió a rebautizar con el nombre de “espira mirabilis”; y no era para menos, ya que esta espiral coincide con su evoluta, con su podaria, con su cáustica de reflexión y con su cáustica de refracción.

Aunque se trata de conceptos muy técnicos, incluimos un pequeño glosario que nos permita acercarnos a las maravillas de la espira mirabilis:

Envolvente de una familia de curvas: curva tangente a cada una de las curvas de la familia en el punto de contacto.

Evoluta: lugar geométrico de los centros de curvatura; también: de las normales a la curva.

Pedal o podaria: lugar geométrico de las proyecciones perpendiculares desde el polo a las tangentes de la curva dada.

Caústica de reflexión: la envolvente de los rayos de luz emanados desde el polo y reflejados por la curva.

Caústica de refracción: la envolvente de los rayos de luz emanados desde el polo y refractados por la curva.

Jacob Bernouilli, que sentía auténtica devoción por la “espiral mirabilis”, pidió que ésta fuera grabada en su lápida funeraria. Alrededor de la espiral puede leerse un texto grabado que dice Eadem mutata resurgo (“aunque cambiada, resurjo de nuevo igual”). Desgraciadamente, el cantero que grabó la lápida dibujó una espiral de Arquímedes en vez de la logarítmica. Si Bernouilli hubiera resucitado de su tumba seguramente lo primero que hubiera hecho habría sido tirarle la lápida a la cabeza.

Curvas ortogonales

Dos familias de curvas se dice que son ortogonales cuando en un punto común en el que coincida una curva de cada familia, las tangentes forman ángulos rectos. Las familias de espirales logarítmicas

y

o sea, las levógiras y las dextrógiras, forman haces de curvas ortogonales, que no sólo es un motivo ornamental muy utilizado, sino que es también una pauta de crecimiento para algunos tipos de flores.