Un juego

Si marcamos dos puntos en una hoja de papel y le pedimos a alguien que trace el camino más corto entre dichos puntos, seguro que sabrá hacerlo. Bastará con que coja una regla y trace la recta que une ambos puntos. Éste es el camino más corto. Casi todo el mundo sabe que la recta es la línea más corta que une dos puntos (lo que ya no sabe tanta gente es cómo demostrarlo).

Si esa misma hoja de papel la doblamos por la mitad y la ponemos de pie encima de la mesa, como si fuera un libro abierto, observaremos que la recta se convierte en una línea quebrada.

Si dicha línea no estuviera dibujada ¿sabríamos que ésa es la distancia más corta entre los dos puntos? Planteada así la cuestión ya no es tan sencilla como cuando teníamos la hoja desplegada encima de la mesa. Si la hoja en vez de un solo pliegue tiene varios, el problema empieza a complicarse.

Esto es un juego de sobremesa que puede plantearle a cualquier persona. Se hacen varios dobleces en la hoja, se marcan dos puntos y se le pide a alguien que intente dibujar el camino más corto sin desplegar la hoja. Cuando ha terminado se extiende el papel sobre la mesa y se puede comprobar el grado del error cometido, ya que la solución es siempre la línea recta que une a ambos puntos. También se puede hacer una variante del juego enrollando el papel en forma de cilindro. Todo esto, además de ser un juego, es un problema que ha sido objeto de investigación matemática durante siglos: la determinación de las geodésicas en una superficie cualquiera.

Geodésicas en superficies planas.

En el primer ejemplo que hemos puesto como juego, al doblar por la mitad una hoja de papel, hemos obtenido una superficie de dos caras, lo que en Geometría se llama un “diedro”. La geodésica en un diedro no encierra excesivos misterios. Si observamos la hoja extendida

veremos que el segmento rectilíneo que une los dos puntos A y B’, corta al doblez del papel MM’ en un ángulo que es el mismo a ambos lados del pliegue (son ángulos iguales por ser alternos-internos). Esta igualdad entre ángulos se conserva cuando doblamos la hoja. Por tanto, las geodésicas en superficies como los diedros se caracterizan porque los ángulos que forman los segmentos de la quebrada que une los puntos con la arista del diedro son iguales. Éste es un resultado que se puede generalizar a superficies poliédricas (que son las que obtenemos cuando hacemos varios dobleces al papel), ya que en cada uno de los dobleces, o sea en la arista de cada uno de los diedros,  los ángulos que forman con esta quebrada y la siguiente son iguales, tal y como se muestra en la figura.

Siguiendo el mismo método podemos encontrar las geodésicas de un prisma y de una pirámide. en la superficie de un prisma, la línea más corta que une dos puntos de la superficie es la quebrada que tiene sus vértices en las aristas del prisma, de forma tal que los ángulos que forman dos segmentos consecutivos de dicha quebrada con la arista correspondiente sean iguales.

Esta situación es completamente análoga a la que nos encontramos cuando dibujamos la línea más corta que une dos puntos en la superficie de una pirámide.

Geodésicas en un cilindro

Construir un cilindro de papel es sencillo, basta con pegar los dos lados opuestos de un folio. Esta operación también la podemos hacer a la inversa: si tenemos un cilindro siempre podemos imaginar que lo desplegamos encima de la mesa de forma que nos quede un rectángulo. Ésta es una importante propiedad que poseen algunas superficies y de la que hablaremos después. Podemos imaginar que este rectángulo está formado por una serie de rectas paralelas

que, al enrollar el papel, formarán como un armazón alrededor del cilindro. Estas rectas reciben el nombre de “generatrices”.

El caso es que si queremos dibujar la línea más corta que une dos puntos sobre la superficie de un cilindro y utilizamos el truco de extender éste sobre la mesa y unir los puntos mediante una recta utilizando una regla, observaremos que nos encontramos con una propiedad muy parecida a la que teníamos cuando dibujábamos la geodésica sobre la superficie de un prisma, pero con la diferencia de que, en este caso, la recta que define la distancia más corta forma ángulos iguales con todas las generatrices del cilindro:

Cuando doblemos la hoja de papel para construir de nuevo el cilindro, la recta se convertirá en una curva sobre la superficie del cilindro que une los dos puntos en cuestión. Esta curva, que es la geodésica sobre la superficie de un cilindro, recibe el nombre de “línea helicoidal” o “hélice circular” y se caracteriza por cortar a las generatrices siempre bajo el mismo ángulo.

En el caso en que dicho ángulo valiera 90º, la hélice se convertiría en una recta. Esta situación se daría en el caso en el que los dos puntos en cuestión estuvieran situados sobre una misma generatriz. En cambio, si el ángulo fuera cero, la hélice se convertiría en un arco de circunferencia.  Para un ángulo cualquiera, la hélice puede construirse de formas diferentes: si al ascender hacia arriba, la hélice gira hacia la derecha, diremos que se trata de una hélice dextrógira y en caso de que gire a la izquierda, de una hélice levógira. Las escaleras de caracol se construyen siguiendo el dibujo de una hélice. Cuando hay dos de estas escaleras para comunicar diferentes plantas de un edificio, lo habitual es que la escalera ascendente sea dextrógira y la descendente levógira.

Geodésicas en una superficie cónica

Vamos a seguir experimentando con papel y lápiz para ver el aspecto que tienen las geodésicas en las superficies cónicas. Para construir un cono lo más sencillo es dibujar un arco de circunferencia con un compás y unir los extremos de dicho arco con el centro de la circunferencia. Enrollando el papel y pegándolo por los lados rectos obtendremos un cono, que será más o menos abierto, según la amplitud que le hayamos dado al ángulo , que recibe el nombre de “ángulo desarrollado del cono”.

También en el cono existen una rectas llamadas generatrices, que son todas las rectas que parten del vértice y van a parar a la circunferencia de la base. En el cono se pueden construir hélices de la misma forma que lo hicimos en el cilindro: basta con dibujar una curva que corte a todas las generatrices bajo el mismo ángulo. Sin embargo estas curvas, que reciben el nombre de “loxodromas”, no son geodésicas en la superficie del cono.

El juego que proponíamos al principio, consistente en marcar dos puntos en la superficie y tratar de dibujar el camino más corto, está lleno de sorpresas cuando se trata de un cono, ya que la forma de las geodésicas depende mucho del ángulo que hemos utilizado para construir el cono. Incluso pueden ser curvas que se corten a sí mismas en algún punto de la superficie cónica (estos puntos reciben el nombre de “puntos dobles”).

Es interesante experimentar con papel y tijeras las diferentes posibilidades y observar cómo en algunos casos puede aparecer más de un punto doble. Concretamente hay un teorema que establece la existencia de dichos puntos y que dice: “si el ángulo desarrollado de un cono es igual o mayor que 180º las geodésicas no tienen puntos dobles. En el caso de que el ángulo desarrollado del sea menor que 180º toda línea geodésica tiene al menos un punto doble”.

Geodésicas en una esfera

Hasta ahora hemos podido experimentar con las diferentes superficies con las que hemos tratado: poliédricas, prismas, pirámides, cilindros o conos, porque eran figuras que podíamos desplegar sobre la mesa, para ver lo que sucedía con las líneas más cortas. Este tipo de superficies reciben en Matemáticas el nombre de “superficies desarrollables” y, aunque su definición exacta es compleja, intuitivamente significa que pueden desarrollarse en una porción de plano, es decir, extenderse completamente sobre una mesa. Pero con la esfera este procedimiento no es posible, ya que no se trata de una superficie desarrollable: es imposible extender una esfera sobre un plano sin deformarla.

De todas las posibles curvas que se pueden dar en una superficie esférica, una de ellas tiene una especial relevancia: el “círculo máximo”, que se define como aquel que tiene el mismo centro y el mismo radio que la esfera. Cuando cortamos una naranja por la mitad, lo hacemos siguiendo un círculo máximo. Cualquier otro corte nos daría círculos menores. Supongamos que tenemos dos puntos cualesquiera A y B sobre la superficie de una esfera y que dibujamos el círculo máximo que pasa por dichos puntos

Se puede demostrar que la distancia AB definida sobre dicho círculo es la más corta que hay entre estos dos puntos, de forma que en una superficie esférica las geodésicas vienen dadas por los círculos máximos. Las geodésicas de una esfera reciben también el nombre de “ortodromas”. En el caso particular en que los dos puntos se encuentren en los extremos de un diámetro existen infinitos círculos máximos que pasan por ambos puntos y, por tanto, infinitas geodésicas.

En la esfera también se habla de loxodromas asociadas a un eje cualquiera y que se definen como aquellas curvas que forman un ángulo constante con los meridianos o con los paralelos. Estas curvas no deben confundirse con las hélices esféricas, que son las que forman un ángulo constante con el plano del ecuador. Geodésicas y loxodromas son curvas que han tenido una especial importancia en la navegación.

En la proyección de Mercator, una de las formas de representar la esfera terrestre en un plano para confeccionar un mapa, las loxodromas se convierten en rectas y reciben el nombre de “líneas de rumbo”. Sin embargo, hay que tener en cuenta que no representan los caminos más cortos, ya que éstos vienen dados por las ortodromas, es decir, por las geodésicas.

Aquí podemos ver una loxodroma (línea roja) y una geodésica (línea azul) uniendo dos puntos de la superficie terrestre.

Viendo las mismas líneas en una proyección de Mercator, se puede observar cómo la loxodroma ha pasado a ser una recta.

Geodésicas naturales

La naturaleza tiene tendencia a seguir casi siempre la ley del mínimo esfuerzo. Por algo se dice que la naturaleza es sabia. Las mayoría de las plantas trepadoras se desarrollan siguiendo una hélice dextrógira. Aunque en algunos casos, como en el lúpulo, la hélice puede ser levógira.

Las mariposas de la luz, estos pequeños insectos que revolotean en las proximidades de las bombillas, siguen un rumbo muy concreto en su vuelo aparentemente caótico, marcando loxodromas que se dibujan en la esfera definida por el foco luminoso.